משפטים הפוכים: מתי ישרים מקביליםגאומטריה 571 · שיעור 3
גאומטריה 571 · מתחילים מהיסודות
שיעור 3: משפטים הפוכים: מתי ישרים מקבילים
פרק 1 · זוויות וישרים מקבילים
1שלושה משפטים הפוכים: איך מוכיחים ש־AB ∥ CD
23 תרגילי הוכחה, אחד מהם עם משוואה
3תרגיל מורכב: "זווית שבירה" עם קו עזר
משפטים הפוכים
מתי שני ישרים מקבילים?
בשיעור הקודם: הישרים מקבילים ← מסיקים משהו על הזוויות
היום הפוך: יודעים משהו על הזוויות ← מסיקים שהישרים מקבילים
אם זוויות מתאימות שוות ← הישרים מקבילים
אם זוויות מתחלפות שוות ← הישרים מקבילים
אם סכום זוויות חד־צדדיות 180 מעלות ← הישרים מקבילים
מספיק זוג אחד כזה כדי להוכיח ש־AB ∥ CD
ועוד משפט: שני ישרים שמקבילים לאותו ישר – מקבילים זה לזה
📐 משפט הפוך
אם זוויות מתאימות שוות ← הישרים מקבילים
📐 משפט הפוך
אם זוויות מתחלפות שוות ← הישרים מקבילים
📐 משפט הפוך
אם סכום זוויות חד־צדדיות 180 מעלות ← הישרים מקבילים
📐 משפט
שני ישרים שמקבילים לאותו ישר – מקבילים זה לזה
תרגיל 1 · מתאימות שוות ← מקבילים · קל
הישר EF חותך את AB ואת CD בנקודות G ו־H
נתון: ∢EGB = 65 ו־∢GHD = 65
הוכיחו: AB ∥ CD
נתון: ∢EGB = 65 ו־∢GHD = 65
הוכיחו: AB ∥ CD
∢EGB = 65
נתון
∢GHD = 65
נתון
∢EGB = ∢GHD
שתיהן שוות ל־65
∢EGB ו־∢GHD זוויות מתאימות
שתיהן מעל הישר ומימין לחותך
AB ∥ CD
אם זוויות מתאימות שוות ← הישרים מקבילים
✅ הוכחנו: AB ∥ CD
📐 הגדרה
זוויות מתאימות: באותו מקום בכל אחת משתי נקודות החיתוך
📐 משפט הפוך
אם זוויות מתאימות שוות ← הישרים מקבילים
תרגיל 2 · קדקודיות + חד־צדדיות ← מקבילים
הישר EF חותך את AB ואת CD בנקודות G ו־H
נתון: ∢BGH = 115 ו־∢CHF = 65
הוכיחו: AB ∥ CD
נתון: ∢BGH = 115 ו־∢CHF = 65
הוכיחו: AB ∥ CD
∢BGH = 115 ו־∢CHF = 65
נתון
∢GHD = ∢CHF = 65
זוויות קדקודיות שוות
∢BGH + ∢GHD = 115 + 65 = 180
מחברים
∢BGH ו־∢GHD זוויות חד־צדדיות
בין הישרים, באותו צד של החותך
AB ∥ CD
אם סכום זוויות חד־צדדיות 180 ← הישרים מקבילים
✅ הוכחנו: AB ∥ CD
📐 משפט
זוויות קדקודיות שוות זו לזו
∢1 = ∢3
📐 הגדרה
זוויות חד־צדדיות: בין שני הישרים, באותו צד של החותך
📐 משפט הפוך
אם סכום זוויות חד־צדדיות 180 מעלות ← הישרים מקבילים
תרגיל 3 · משוואה + מתחלפות ← מקבילים
הישר EF חותך את AB ואת CD בנקודות G ו־H
נתון: ∢AGH = 4x − 15 ו־∢BGH = x + 45
וגם: ∢GHD = 3x + 15
הוכיחו: AB ∥ CD
נתון: ∢AGH = 4x − 15 ו־∢BGH = x + 45
וגם: ∢GHD = 3x + 15
הוכיחו: AB ∥ CD
∢AGH = 4x − 15 ו־∢BGH = x + 45
נתון
∢GHD = 3x + 15
נתון
∢AGH + ∢BGH = 180
זוויות צמודות
(4x − 15) + (x + 45) = 180
מציבים את הביטויים
5x + 30 = 180
כינוס איברים דומים
5x = 180 − 30 = 150
מעבירים את 30 לאגף השני
x = 150 : 5 = 30
מחלקים את שני האגפים ב־5
∢AGH = 4 · 30 − 15 = 105
מציבים x = 30 (וגם ∢BGH = 75)
∢GHD = 3 · 30 + 15 = 105
מציבים x = 30
∢AGH = ∢GHD והן זוויות מתחלפות
שתיהן 105, בין הישרים, משני צדי החותך
AB ∥ CD
אם זוויות מתחלפות שוות ← הישרים מקבילים
✅ פתרון: x = 30 , ולכן AB ∥ CD
📐 משפט
סכום זוויות צמודות הוא 180 מעלות
∢1 + ∢2 = 180
📐 כלל
כינוס איברים דומים: x עם x, מספרים עם מספרים
📐 כלל
מעבירים איבר לאגף השני ומחליפים לו את הסימן
a + b = c ⟹ a = c − b
📐 כלל
מחלקים את שני האגפים באותו מספר (לא 0)
📐 הגדרה
זוויות מתחלפות: בין שני הישרים, משני צדי החותך
📐 משפט הפוך
אם זוויות מתחלפות שוות ← הישרים מקבילים
תרגיל 4 · מורכב · "זווית שבירה" עם קו עזר
AB ∥ CD והנקודה E נמצאת בין שני הישרים
נתון: ∢ABE = 40 ו־∢CDE = 30
מצאו את ∢BED
נתון: ∢ABE = 40 ו־∢CDE = 30
מצאו את ∢BED
AB ∥ CD
נתון
∢ABE = 40 ו־∢CDE = 30
נתון
דרך E מעבירים ישר EF ∥ AB
קו עזר
EF ∥ CD
EF ו־CD מקבילים שניהם ל־AB
∢BEF = ∢ABE = 40
זוויות מתחלפות בין המקבילים AB ו־EF
∢FED = ∢CDE = 30
זוויות מתחלפות בין המקבילים EF ו־CD
∢BED = ∢BEF + ∢FED
הקרן EF נמצאת בתוך הזווית
∢BED = 40 + 30 = 70
מציבים
✅ פתרון סופי: ∢BED = 70 מעלות
💡 בצורה כזו תמיד: הזווית באמצע שווה לסכום שתי הזוויות ליד הישרים
📐 כלל
קו עזר: דרך נקודה מותר להעביר ישר המקביל לישר נתון
📐 משפט
שני ישרים שמקבילים לאותו ישר – מקבילים זה לזה
📐 משפט
בין ישרים מקבילים: זוויות מתחלפות שוות
📐 כלל
אם קרן נמצאת בתוך זווית, הזווית שווה לסכום שני החלקים
📌 מה למדנו היום
📐 משפט הפוך
אם זוויות מתאימות שוות ← הישרים מקבילים
📐 משפט הפוך
אם זוויות מתחלפות שוות ← הישרים מקבילים
📐 משפט הפוך
אם סכום זוויות חד־צדדיות 180 מעלות ← הישרים מקבילים
💡 בתרגיל "הוכיחו ש־AB ∥ CD": מחפשים זוג זוויות אחד (מתאימות, מתחלפות או חד־צדדיות) ומראים שהוא מקיים את המשפט. ב"זווית שבירה": מעבירים קו עזר מקביל.
בשיעור הבא: סכום הזוויות במשולש וזווית חיצונית
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא